Question

【題目】已知橢圓 ：，點 ， 分別是橢圓 的左頂點和左焦點，點 是 ： 上的動點，若 是常數，則橢圓 的離心率為________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設F（﹣c，0），由c2=a2﹣b2可求c，P（x1，y1），令=，則有（x1+a）2+y12=λ[（x1+c）2+y12]比較兩邊可得c，a的關系，結合橢圓的離心率公式，解方程可得可求．

解：設F（﹣c，0），c2=a2﹣b2，A（﹣a，0），P（x1，y1），

使得是常數，設=，則有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（x，λ是常數），

即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），

比較兩邊，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，

故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2﹣c3+ca2=a3，

即e3﹣2e+1=0，

∴（e﹣1）（e2+e﹣1）=0，

∴e=1或e=，

∵0＜e＜1，∴e=．

故答案為：．