Question

【題目】如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面AA1C1C是菱形，側面ABB1A1⊥側面AA1C1C，A1B=AB=AA1=2，△AA1C1的面積為 ，且∠AA1C1為銳角．
（I） 求證：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵側面AA1C1C是菱形，且A1B=AB=AA1=2，
∴AA1=A1C1=C1C=CD=2，△AA1B是等邊三角形，
取AA1的中點D，連結DB、DC1 ， 則AA1⊥BD，
由 = =2sin∠AA1C1= ，
得sin∠AA1C1= ，
又∠AA1C1為銳角，
∴∠AA1C1=60°，
∴△AA1C1是等邊三角形，且AA1⊥C1D，
又∵BD平面BC1D，C1D平面BC1D，BD∩C1D=D，
∴AA1⊥平面BC1D，
∴AA1⊥BC1 ．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AA1⊥BD，
又∵側面ABB1A1⊥側面AA1C1C，
側面ABB1A1∩側面AA1C1C=AA1 ， BD平面ABB1A1 ，
∴BD⊥平面AA1C1C，
以D為原點，C1D為x軸，DA1為y軸，DB為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，﹣1，0），A1（0，1，0），C1（﹣ ，0，0），B（0，0， ），D（0，0，0），
， =（0，1， ），
=（0，0， ）是平面ACC1的一個法向量，
設 =（x，y，z）是平面ABC的一個法向量，
則 ，令z=1，得 =（1，﹣ ，1），
∴cos＜ ＞= = = ，
∴銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值為 ．


【解析】（Ⅰ）推導出△AA1B是等邊三角形，取AA1的中點D，則AA1⊥BD，再推導出△AA1C1是等邊三角形，且AA1⊥C1D，由此能證明AA1⊥BC1 ． （Ⅱ）以D為原點，C1D為x軸，DA1為y軸，DB為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面垂直的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行．