Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形中，點，分別是，的中點，將分別沿，折起，使兩點重合于.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發給予證明，而線面垂直的證明往往利用線面垂直判定與性質定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需結合平幾知識進行：連接交于，則根據等腰三角形性質得，（Ⅱ）求四棱錐的高，關鍵是確定高，即從線面垂直尋找高線：利用面面垂直性質定理，可得線面垂直，即作于，可得，最后利用四棱錐體積公式求體積

試題解析：（Ⅰ）證明：連接交于，連接.

在正方形中，點是中點，點是中點，

所以，

所以，

所以在等腰中，是的中點，且，

因此在等腰中，，

從而，

又，

所以平面，

即平面.……………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）的證明可知平面，

易知，，，，

由于，

所以，

作于，則，

在中，由，得.

又四邊形的面積，

所以，四棱錐的體積.………………………………12分