Question

已知函數f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

1

2

sin(x+

π

2

)．
（1）寫出f（x）的最小正周期以及單調區間；
（2）若函數h(x)=cos(x+

5π

4

)，求函數y=log₂（f（x）•h（x））的最大值，以及使其取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）將函數解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第二項利用誘導公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期，由正弦函數的單調區間列出不等式，即可得出函數的單調區間；
（2）將f（x）及h（x）代入f（x）•h（x）中，利用誘導公式化簡后，再利用二倍角的正弦函數公式化簡，最后利用誘導公式化為一個角的余弦函數，由余弦函數的值域及對數的運算性質求出y的最大值，以及此時x的集合即可．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sinx+

1

2

cosx=

2

2

sin（x+

π

4

），
∵ω=1，∴T=2π；
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z，
令

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得：

π

4

+2kπ≤x+

π

4

≤

5π

4

+2kπ，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，k∈Z；單調遞減區間為[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ]，k∈Z；
（2）∵f（x）•h（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）cos（x+

5π

4

）
=-

2

2

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=-

2

4

sin（2x+

π

2

）=-

2

4

cos2x，
∴y=log₂（f（x）•h（x））=log₂（-

2

4

cos2x），
∴y_max=log₂

2

4

=-

3

2

，
當cos2x=-1，即x={x|x=

π

2

+kπ，k∈Z}時，y取得最大值．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的單調性，誘導公式，以及余弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．