Question

（2012•開封二模）已知函數f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
（I）求函數f（x）的單調遞增區間；
（II）記△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=

3

2

，△ABC的面積S=

3

2

，a=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦、二倍角的余弦函數公式分別化簡函數f（x）解析式的前兩項，整理后，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的單調遞增區間，列出關于x的方程，求出方程的解即可得到函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

，可求A，由三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA可求bc，再由余弦定理可求b+c

解答：解：（I）∵f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1
∴f(x)=sin(x-

π

6

)+1，…（3分）
令2kπ-

1

2

π≤x-

π

6

≤2kπ+

1

2

π，k∈Z可得2kπ-

1

3

π≤x≤2kπ+

2π

3

單調遞增區間為[2kπ-

1

3

π，2kπ+

2π

3

]，k∈Z…（6分）
（II）∵f(A)=

3

2

，
∴sin（A-

π

6

）+1=

3

2

即sin（A-

π

6

）=

1

2

∵0＜A＜π
∴A=

1

3

π
∵△ABC的面積S=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc=

3

2

∴bc=2
∵a=

3

由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccos60°
即3=b²+c²-2=（b+c）²-6
∴b+c=3…（12分）

點評：此題考查了三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的單調性，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．