Question

（2011•黑龍江一模）已知函數f(x)=

3

2

sinxcosx-

3

2

sin2x+

3

4

．
（Ⅰ） 求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=

3

，b=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦函數公式分別化簡函數f（x）解析式的前兩項，整理后，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的單調遞增區間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出關于x的方程，求出方程的解即可得到函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）由f（A）=0，把x=A代入第一問化簡后的函數解析式，利用特殊角的三角函數中求出A的度數，由已知的a小于b，根據三角形中大邊對大角得到A小于B，即A為銳角，進而得到滿足題意的A的度數，由A的度數求出sinA的值，再由a與b的值，利用正弦定理求出sinB的值，再利用特殊角的三角函數中求出B的度數，利用三角形的內角和定理求出C的度數，可得出sinC的值，由sinC，a與b的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sinxcosx-

3

2

sin2x+

3

4

=

3

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

3

2

sin(2x+

π

3

)，…（2分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，…（4分）
解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
則函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；…（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=0，
∴f（A）=

3

2

sin(2A+

π

3

)=0，
解得：A=

π

3

或A=

5

6

π，
又a＜b，∴A＜B，
故A=

π

3

，…（8分）又a=

3

，b=2，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=1，
∴B=

π

2

，
∴C=π-（A+B）=

π

6

，…（10分）
則△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

2

．…（12分）

點評：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的單調性，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．