Question

【題目】設函數f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若對 x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求實數t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實數a，b滿足a2＋b2＝2M．證明：a＋b≥2ab．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解： 恒成立

∵ ，

當且僅當 ，即 時取等號，

∴t≤1，∴M＝1．

（Ⅱ）證明：∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1．

∴ ．（當且僅當“a＝b”時取等號）①

又∵ ，∴ ．

∴ ，（當且僅當“a＝b”時取等號）②

由①、②得 ．（當且僅當“a＝b”時取等號）

∴a＋b≥2ab

【解析】（Ⅰ）將函數不等式化為t小于等于含x代數式，即t小于等于該代數式的最小值，再利用基本不等式求得該代數式的最小值，從而求得t的最大值；（Ⅱ）根據基本不等式a2＋b2≥2ab求得ab≤1，再對基本不等式變形求得結論.
【考點精析】掌握基本不等式是解答本題的根本，需要知道基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．