Question

（本題滿分 13分）
集合為集合的個(gè)不同的子集，對(duì)于任意不大于的正整數(shù)滿足下列條件：
①，且每一個(gè)至少含有三個(gè)元素；
②的充要條件是（其中）。
為了表示這些子集，作行列的數(shù)表（即數(shù)表），規(guī)定第行第列數(shù)為：。
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合，請(qǐng)完成下面數(shù)表（填符合題意的一種即可）；

（2）用含的代數(shù)式表示數(shù)表中1的個(gè)數(shù)，并證明；
（3）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，證明不等式：對(duì)任何正整數(shù)都成立。

Answer 1

（1）見解析。
（2），證明見解析。
（3）證明見解析。

（1）根據(jù)條件①每個(gè)中至少含有三個(gè)元素，作出的數(shù)表每一列至少有三個(gè)1。
數(shù)表如下：

	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	1	1	1
2	1	0	0	1	0	0	1
3	1	1	0	0	0	1	0
4	1	0	1	0	1	0	0
5	0	1	1	0	0	0	1
6	0	1	0	1	1	0	0
7	0	0	1	1	0	1	0

 
（2）題設(shè)條件①中的表明的一條對(duì)角線上數(shù)字都是0，題設(shè)條件②表明除對(duì)角線以外，與恰好一個(gè)為1，而另一個(gè)為0，即數(shù)表中除該對(duì)角線以外，0與1各占一半，故數(shù)表中共有個(gè)1。另一方面，根據(jù)題設(shè)條件①每一個(gè)至少含有三個(gè)元素得：作出的數(shù)表的每一列至少有3個(gè)1，所以整個(gè)數(shù)表（共有列）至少有個(gè)1，因此列出不等式：，解得。
（3）
檢驗(yàn)也成立，故
證法一：要證：，只要證：
，
故只要證：，
即只要證：， 又

所以命題得證。
證法二：同上       又

所以 
即，故