Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知點(diǎn)列、、…、（n∈N）順次為一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)列、、…、（n∈N）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中（0＜a＜1），對(duì)于任意n∈N，點(diǎn)、、構(gòu)成一個(gè)頂角的頂點(diǎn)為的等腰三角形。

（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明是等差數(shù)列；
（2）證明為常數(shù)，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）(nÎN)，證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析，
（3）存在直角三形，此時(shí)a的值為、、.

（1）(nÎN),∵y_n+1-y_n=,∴{y_n}為等差數(shù)列 ………………4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142507538476.gif" style="vertical-align:middle;" />與為等腰三角形.
所以，兩式相減得。………………7分
注：判斷得2分，證明得1分
∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x₆ ，…，x_2n都是公差為2的等差數(shù)列，………………6分
∴ ………………10分
（3）要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數(shù)，0＜a＜1)  (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無(wú)解； ………………14分
當(dāng)偶數(shù)時(shí)，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.
∴2a=2()Þa=(n為偶數(shù)，0＜a＜1)  (*¢)，
取n=2，得a=,若n≥4，則(*¢)無(wú)解.
綜上可知，存在直角三形，此時(shí)a的值為、、. ………………18分