Question

【題目】如圖,已知橢圓的長軸為,過點的直線與軸垂直,橢圓的離心率, 為橢圓的左焦點,且.

（Ⅰ）求此橢圓的方程;

（Ⅱ）設是此橢圓上異于的任意一點, , 為垂足,延長到點使得.連接并延長交直線于點, 為的中點,判定直線與以為直徑的圓的位置關系.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，根據條件列出關于的方程組，求解的值，再由，得到的值，即可求得橢圓的方程；

（Ⅱ）設（），則，因為點坐標為，得直線的方程為，進而得到坐標和的直線方程，再利用圓心到直線的距離和圓的半徑的關系，即可作出證明．

試題解析：

（Ⅰ）由題得,解得

則

則橢圓方程為

（Ⅱ）與以為直徑的圓相切,證明如下：

設（）,則又因為點坐標為

所以直線的斜率

則直線的方程為,當時,

則點坐標為,又因為,則

則直線的斜率為

則直線的方程為：

則點到直線的距離為

又因為

則

則與以為直徑的圓相切