Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為，離心率為．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ若過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，且P點平分線段AB，求直線AB的方程；

Ⅲ一條動直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，O為坐標原點，的面積為求證：為定值．

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ；Ⅲ見解析

【解析】

Ⅰ設橢圓方程為，由題意可得b，運用離心率公式和a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；

Ⅱ設，，運用中點坐標公式和點滿足橢圓方程，作差，由直線的斜率公式可得AB的斜率，進而得到所求直線方程；

Ⅲ設，，則，分別討論直線MN的斜率是否存在，設出直線方程，聯立橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式，三角形的面積公式，化簡整理即可得到所求定值．

Ⅰ設橢圓方程為，

即有，即，，即，

由，可得，

則橢圓方程為；

Ⅱ設，，點為AB的中點，可得

，，

由，，相減可得

，

可得，

即有直線AB的方程為，化為；

Ⅲ設，，則，

當直線l的斜率不存在時，M，N關于x軸對稱，即，，

由，的面積為，可得，

即有，，可得；

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，

代入橢圓方程，可得，

可得，，

，可得，

，

O到直線l的距離為，

則，

化為，

即有，

，

則，

綜上可得，為定值5．