Question

已知l線的方程為：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-20=2ρcosθ+4ρsinθ，則直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：由l線的方程為：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），化為（2x+y-7）m+x+y-4=0，聯(lián)立

2x+y-7=0 x+y-4=0

，可得交點(diǎn)P（3，1）．由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-20=2ρcosθ+4ρsinθ，化為x²+y²-20=2x+4y，配方為（x-1）²+（y-2）²=25，可得圓心C（1，2），半徑r=5．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|CP|．當(dāng)直線CP⊥l時(shí)，直線l被圓C截得的線段的最短，且長(zhǎng)度為2

r2-|CP|

2．

解答： 解：由l線的方程為：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），化為（2x+y-7）m+x+y-4=0，聯(lián)立

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得

x=3 y=1

，得交點(diǎn)P（3，1）．
由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-20=2ρcosθ+4ρsinθ，化為x²+y²-20=2x+4y，配方為（x-1）²+（y-2）²=25，可得圓心C（1，2），半徑r=5．
|CP|=

(1-3)2+(2-1)2

=

5

．
∴當(dāng)直線CP⊥l時(shí)，直線l被圓C截得的線段的最短，且長(zhǎng)度為2

r2-|CP|

2=2

52-( 5 )2

=4

5

．
故答案為：4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線系的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式、圓的弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．