Question

在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點M的極坐標為（4

2

，

1

4

π），曲線C的參數方程為

x=1+3cosα y=3sinα

（α為參數），則過點M與曲線C相切的直線方程為

 

．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：把參數方程化為直角坐標方程，求出圓心和半徑，分切線的斜率不存在、存在兩種情況，分別求得切線的方程．

解答： 解：根據點M的極坐標為（4

2

，

1

4

π），可得點M的直角坐標為（4，4），
把曲線C的參數方程為

x=1+3cosα y=3sinα

（α為參數），消去參數化為直角坐標方程為 （x-1）²+y²=9，
表示以（1，0）為圓心、半徑等于3的圓．
當切線的斜率不存在時，切線的方程為x=4，
當切線的斜率存在時，設切線的方程為y-4=k（x-4），即 kx-y+4-4k=0，
由圓心到切線的距離等于半徑，可得 6k²-24k-13=0，求得k=

7

24

，
故切線的方程為 7x-24y+68=0，
綜上可得，圓的切線方程為：7x-24y+68=0和x=4，
故答案為：7x-24y+68=0和x=4．

點評：本題主要考查把參數方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．