Question

【題目】某廠生產的某種零件的尺寸大致服從正態分布，且規定尺寸為次品，其余的為正品．生產線上的打包機自動把每5件零件打包成1箱，然后進入銷售環節，若每銷售一件正品可獲利50元，每銷售一件次品虧損100元．現從生產線生產的零件中抽樣20箱做質量分析，作出的頻率分布直方圖如下：

（1）估計生產線生產的零件的次品率及零件的平均尺寸；

（2）從生產線上隨機取一箱零件，求這箱零件銷售后的期望利潤及不虧損的概率．

Answer 1

【答案】（1）0.20；98.8（2）

【解析】

（1）求出的值，即可得到次品的尺寸范圍，根據頻率分布圖求出次品率，并求出各組的頻率，按照平均數公式即可求解；

（2）設生產線上的一箱零件（5件）中的正品數為，則，將利潤表示為的函數，由二項分布的期望公式和期望的性質，求出利潤的期望；要使銷售不虧損，5件產品中至少要有4件正品，根據獨立重復試驗的概率公式，即可求解.

（1）次品的尺寸范圍，

即，即，

故生產線生產的產品次品率為：

生產線生產的產品平均尺寸為：

（2）設生產線上的一箱零件（5件）中的正品數為，

正品率為，故，

設銷售生產線上的一箱零件獲利為元，

則

（元）

設事件：銷售生產線上的一箱零件不虧損，則

，

答：生產線生產的零件的次品率為0.2，零件的平均尺寸為98.8，

這箱零件銷售后的期望利潤為100元，不虧損的概率為．