Question

【題目】已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與相交于兩點.

（1）以為直徑的圓與軸交兩點，若，求；

（2）點在上，過點且垂直于軸的直線與分別相交于兩點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意，設的中點為，在上的射影分別為，根據拋物線的性質得出，得出到軸的距離，最后利用直線與圓的弦長公式得出，代入數據即可得出結果；

（2）設直線，聯立直線和拋物線方程，求出韋達定理，求出直線的方程，從而分別求出兩點的坐標，將證明轉化為證明成立即可，結合韋達定理即可證出.

解：（1）由題可知，，以為直徑的圓的半徑為5，

設的中點為，即圓心為，在上的射影分別為，

則，

所以到軸的距離，

故.

（2）當直線斜率為0時，不滿足題意；

則直線斜率不為0，設直線，

設，，

由得，

所以 ，

直線，

令，得，

即，

同理可得：，

要證，即證，

又，

即證，

即證，

即證，

即證（※），

又因為

所以（※）式顯然成立，故，命題得證.