Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在與x無關的正常數M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x恒成立，則稱f（x）為有界泛函．有下面四個函數：
①f（x）=1；   
②f（x）=x²；   
③f（x）=2xsinx；   
④f(x)=

x

x2+x+2

．
其中屬于有界泛函的是（　　）

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據有界泛函的定義進行判定：對于①可以利用定義直接加以判斷，
對于②可以利用絕對值的性質將不等式變形為|x|≤m，
對于③，即|2sinx|≤M，只需M≥2，
對于④，將不等式變形為|

1

x2+x+2

|≤M，可以求出符合條件的m的最小值

解答：解：對于①，顯然不存在M都有1≤M|x|成立，故①錯；
對于②，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是有界泛函；②錯
對于③，f（x）|=|2xsinx|≤M|x|，即|2sinx|≤M，當M≥2時，f（x）=3xsinx是有界泛函．．③對
對于④，|f(x)=

x

x2+x+2

|）|≤M|x|，即|

1

x2+x+2

|=

1

x2+x+2

≤M，只需≥

7

4

，④對
綜上所述，③④
故選B

點評：本題屬于開放式題，題型新穎，考查數學的閱讀理解能力．知識點方面主要考查了函數的最值及其幾何意義，考生需要有較強的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數、不等式的進行檢驗，方可得出正確結論．