Question

【題目】(2015·陜西）如圖，橢圓E:(a>b>0)經過點A(0,-1)，且離心率為.

（1）求橢圓E的方程；
（2）經過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點P,Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.

Answer 1

【答案】
（1）

.

（2）

證明略，詳見解析.

【解析】(I)由題意知=, b=1，
綜合a2=b2+c2 ， 解得a=，
所以，橢圓的方程為.
(II)由題設知，直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2)，代入，得
(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，
由已知△>0，，設P(x1, y1), Q(x2, y2), x1x2≠0，
x1+x2=, x1x2=，
從而直線AP與AQ的斜率之和
kAP+kAQ=+=+
化簡得.kAP+kAQ=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-(2k-1)=2
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．