Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為（

2

，0），且橢圓過點A（

2

，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設M（0，m）（m＞0），P是橢圓上的一個動點，求PM的最大值（用m表示）．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知c=

2

，可設橢圓方程為

x2

b2+2

+

y2

b2

=1．由點A（

2

，1）在橢圓上，知b²=2，a²=4，由此能求出橢圓方程．
（2）設P（x₀，y₀），則

x

2 0

+2

y

2 0

=4．利用丙點間的距離公式建立關于x₀的二次函數，結合分類討論思想即可求得最大值．

解答：解：（1）由題意，c=

2

，則a²=b²+2．           …（2分）
可設橢圓方程為

x2

b2+2

+

y2

b2

=1．
∵橢圓過點（

2

，1），∴

2

b2+2

+

1

b2

=1，解得b²=2． …（4分）
（或由橢圓定義，得2a=

(2 2 )2+1

+1=4，則a=2，同樣得2分）
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．                      …（6分）
（2）設P（x₀，y₀），則

x

2 0

+2

y

2 0

=4．
∴PM2=(x0-0)2+(y0-m)2=2m2+4-(y0+m)2．  …（9分）
由

x

2 0

+2

y

2 0

=4，得y0∈[-

2

，

2

]．               …（11分）
∴當m∈(0，

2

]時，在y₀=-m時，得PM的最大值為

4+2m2

； …（13分）
當m∈(

2

，+∞)時，在y₀=-

2

時，得PM的最大值為m+

2

．  …（15分）
即PMmax=

2m2+4 ，  m∈(0， 2 ] m+ 2 ，     m∈( 2 ，+∞)

…（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和點與橢圓的位置關系的應用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．