Question

【題目】已知命題p：x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的兩個實根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|對任意m∈R恒成立；命題q：不等式x2+2x+a＜0有解，若命題p∨q為真，p∧q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：命題p：x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的兩個實根，∴△=m2+4≥0．x1+x2=m，x1x2=﹣1．
∴|x1﹣x2|= = ．
∵不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|對任意m∈R恒成立，∴a2+4a﹣3≤2，解得﹣5≤a≤1；
命題q：不等式x2+2x+a＜0有解，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1．
∵命題p∨q為真，p∧q為假，
∴p與q必然一真一假，
∴ ，或 ，
解得a=1，或a＜﹣5．
∴a的取值范圍是a=1或a＜﹣5
【解析】命題p：x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的兩個實根，可得△≥0．利用根與系數的關系|x1﹣x2|= = ．即可得出最小值．不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|對任意m∈R恒成立，解得a范圍；命題q：不等式x2+2x+a＜0有解，可得△＞0，解得a范圍．由于命題p∨q為真，p∧q為假，可得p與q必然一真一假，即可得出．
【考點精析】本題主要考查了復合命題的真假的相關知識點，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真才能正確解答此題．