Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓： 的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的

坐標；若不存在說明理由；

（3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）直線l的方程為y=k（x+4），與橢圓聯立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2-12）]=0，由此利用韋達定理、直線垂直，結合題意能求出結果．
（3）OM的方程可設為y=kx，與橢圓聯立得M點的橫坐標為，由，，能求出結果．

試題解析：

（1）因為左頂點為，所以，又，所以

又因為，

所以橢圓的標準方程為．

（2）直線的方程為，由消元得

化簡得， ，

所以

當時， ，

所以.因為點為的中點，所以點的坐標為，

則.

直線的方程為，令，得點的坐標為，

假設存在定點使得,

則，即恒成立，

所以恒成立，所以即

因此定點的坐標為.

（3）因為,所以的方程可設為，

由得點的橫坐標為

由，得

，

當且僅當即時取等號，

所以當時， 的最小值為．