Question

【題目】用部分自然數構造如圖的數表：用表示第行第個數，使得，每行中的其他各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和，設第行中的各數之和為.

已知，求的值；

令，證明：是等比數列，并求出的通項公式；

數列中是否存在不同的三項恰好成等差數列？若存在，求出的關系，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

（3）數列中不存在不同的三項恰好成等差數列.

【解析】

（1）利用數表，可求b1，b2，b3，b4，并且bn+1=a（n+1）1+a（n+1）2+…+a（n+1）（n+1）=2（an1+an2+…+ann）+2=2bn+2．
（2）由bn+1=2bn+2，可得bn+1+2=2（bn+2），從而{bn+2}是以b1+2=3為首項，2為公比的等比數列，即可求出{bn}的通項公式；
（3）設p＞q＞r，{bn}是遞增數列，2bq=bp+br，由此能導出數列{bn}中不存在不同的三項bp，bq，br恰好成等差數列．

（1）.

（2）證明：（常數）

又

是以為首項，為公比的等比數列. 故

.

（3）不妨設數列中存在不同的三項恰好成等差數列.

即

化簡得：

顯然上式左邊為偶數，右邊為奇數，方程不成立.

故數列中不存在不同的三項恰好成等差數列.