Question

【題目】對于素數p，定義集合 .

及 .試求所有的素數p，使得

.

Answer 1

【答案】滿足條件的所有素數p為2、3、5、13、17.

【解析】

1.首先驗算當p＝2，3，5，13，17時，滿足題意.

i.當p＝2時，對任意，a、b、c均為奇數或兩奇一偶，此時，

.

故.

ii.當p＝3時，由平方數模3余0或1得

或.

因此，

iii.當p＝5時，若

.

由模5余0或±1，得不能模5同為1或-1，此時必有

.

因此，.

iv.當p=13時，若

.

由模13余0或±1或±3或±4，經驗算得中有一個模13為0或-1，此時必有

或

或

因此,

v.當=p=17時,若

.

由模17余0或±1或±2或±4或±8，經驗算得中有一個模17為0或-1，此時必有

或

或

因此,.

2.證明:當,且p>3時,不滿足題意.

只需證明存在,而即可.

事實上,由p>3,知存在整數c,使得

.

由無解.

在模p意義下,定義函數,

.

若,則

.

于是,f為單射(在模p意義下).

因此,f的值域中共有個值.

由抽屜原理,知存在整數b,使得

.

注意到,b≠0(否則,與,矛盾),且a≠0(否則,與,矛盾).

若,則由

.

而,,,于是,

.

故當且p>3時,不滿足題意.

3.證明:當,且p>17時,不滿足題意.

先證明兩個引理.

引理1 若p為奇素數,kt≠0,則

,

其中,Z為模p的完系,表示勒讓德符號.

引理1的證明 設模p的二次非零剩余構成集合A,非二次剩余構成集合B.

若,則.

而遍歷0一次,遍歷集合A中每個元素恰兩次,故

.

若,則.

而遍歷0一次,遍歷集合B中每個元素恰兩次,故

=

=.

因此, .

引理2 設.則方程

①

至少有p-1組解.

引理2的證明 方程①等價于

至少有p-1組解.

固定有組解.

于是,共有組解.

由引理1及,得

.

回到原題.

令c=a+b,其中,S為的解集,則

=

=.

于是, .

若,則有下列四種情形:

ⅰ.至多有兩個值(a,b).

ⅱ.至多有兩個值(a,b).

ⅲ.且至多有兩個值(a,b).

ⅳ.,此時,

.

而,故

至多6個b的解.

又一個b至多可確定兩個a,于是,至多有12個值(a,b).

綜上,至多有18個值,使得

.

又p>17時,p+1>18,則必存在一組,而.

故.

因此,滿足條件的所有素數p為2、2、5、13、17.