Question

已知的邊所在直線的方程為,滿足, 點在所在直線上且．

（Ⅰ）求外接圓的方程；
（Ⅱ）一動圓過點，且與的外接圓外切，求此動圓圓心的軌跡的方程；
（Ⅲ）過點斜率為的直線與曲線交于相異的兩點，滿足，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）,從而直線AC的斜率為．
所以AC邊所在直線的方程為．即． 
由得點的坐標為，
   
又．            
所以外接圓的方程為: ．                     
（Ⅱ）設動圓圓心為，因為動圓過點，且與外接圓外切，
所以，即．                                          
故點的軌跡是以為焦點，實軸長為，半焦距的雙曲線的左支．    
從而動圓圓心的軌跡方程為．
(Ⅲ)直線方程為：,設
由得
解得：
故的取值范圍為
點評：利用圓錐曲線定義求動點的軌跡方程是常出現的考點，要注意的是動點軌跡是整條圓錐曲線還是其中一部分