Question

對任意兩個非零的平面向量

α

和

β

，定義

α

?

β

=

α • β

β • β

．若兩個非零的平面向量

a

，

b

滿足

a

與

b

的夾角θ∈(

π

4

，

π

2

)，且

a

?

b

和

b

?

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，則

a

?

b

=

1

2

．

Answer 1

分析：由新定義分別可得

a

?

b

和

b

?

a

，由題意可

a

?

b

=

n1

2

，

b

?

a

=

n2

2

，（n₁，n₂∈Z），兩式相乘可得0＜n₁n₂＜2，由整數的特點可得n₁，n₂的值，可得答案．

解答：解：由新定義可得：

a

?

b

=

a • b

b • b

=

| a || b |cosθ

| b |2

=

| a |

| b |

cosθ，

b

?

a

=

b • a

a • a

=

| a || b |cosθ

| a |2

=

| b |

| a |

cosθ，
又因為

a

?

b

和

b

?

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，
設

a

?

b

=

n1

2

，

b

?

a

=

n2

2

，（n₁，n₂∈Z），
可得（

a

?

b

）•（

b

?

a

）=cos²θ=

n1n2

4

，
又θ∈（

π

4

，

π

2

），所以0＜n₁n₂＜2
所以n₁，n₂的值均為1，故

a

?

b

=

n1

2

=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題考查數量積與夾角的關系，準確把新定義轉化為熟悉的數量積是解決問題的關鍵，屬中檔題．