Question

對任意兩個非零的平面向量

α

，

β

，定義

α

○

β

=

α • β

β • β

．若平面向量

a

，

b

滿足|

a

|≥|

b

|＞0，

a

與

b

的夾角θ∈(0，

π

4

)，且

a

○

b

和

b

○

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，則

b

○

a

=（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：由題意可得

a

○

b

=

| a |cosθ

| b |

=

n

2

，

b

○

a

=

| b |cosθ

| a |

=

m

2

，由范圍可得即

mn

4

∈（

1

2

，1），可得n=3，m=1，進而可得答案．

解答：解：由題意可得

a

○

b

=

a • b

b • b

=

| a || b |cosθ

| b || b |

=

| a |cosθ

| b |

=

n

2

，
同理可得

b

○

a

=

b • a

a • a

=

| a || b |cosθ

| a || a |

=

| b |cosθ

| a |

=

m

2

，
因為|

a

|≥|

b

|＞0，所以n≥m 且 m、n∈z，
∴cos²θ=

mn

4

．再由

a

與

b

的夾角θ∈(0，

π

4

)，可得cos²θ∈（

1

2

，1）
即

mn

4

∈（

1

2

，1），故n=3，m=1，∴

b

○

a

=

m

2

=

1

2

故選A

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，得到 n≥m 且 m、n∈z，且

mn

4

∈（

1

2

，1），是解題的關鍵，屬于中檔題．