Question

對任意兩個非零的平面向量

α

和

β

，定義

α

?

β

=

α • β

β • β

．若平面向量

a

，

b

滿足|

a

|≥|

b

|＞0，

a

與

b

的夾角θ∈（0，

π

4

），且

a

?

b

和

b

?

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，則

a

?

b

=

3

2

．

Answer 1

分析：根據題中的定義，化簡整理得

a

?

b

=

| a |cosθ

| b |

=

n

2

且

b

?

a

=

| b |cosθ

| a |

=

m

2

，其中m、n都是整數．兩式相乘可得cos²θ=

mn

4

，由|

a

|≥|

b

|＞0且

a

與

b

的夾角θ∈（0，

π

4

），討論可得m=1且n=3，從而得出

a

?

b

的值．

解答：解：由題意，可得

a

?

b

=

a • b

b • b

=

| a |•| b |cosθ

| b |2

=

| a |cosθ

| b |

=

n

2

，
同理可得：

b

?

a

=

| b |cosθ

| a |

=

m

2

，其中m、n都是整數
將化簡的兩式相乘，可得cos²θ=

mn

4

．
∵|

a

|≥|

b

|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵

a

與

b

的夾角θ∈（0，

π

4

），可得cos²θ∈（

1

2

，1）
即

mn

4

∈（

1

2

，1），結合m、n均為整數，可得m=1且n=3，從而得

a

?

b

=

n

2

=

3

2

故答案為：

3

2

點評：本題給出新定義，求式子

a

?

b

的值．著重考查了向量數量積及其運算性質、三角函數的性質和整數解的討論等知識，屬于中檔題．