Question

設數列{a_n}的前n項和S_n滿足6S_n+1=9a_n（n∈N⁺）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=

1

an

，證明：b₁+b₂+…+b_n＜

9

2

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據S_n與a_n的關系，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數列{b_n}的通項公式，利用等比數列的前n項和即可證明不等式b₁+b₂+…+b_n＜

9

2

．

解答： 解：（Ⅰ）當n=1時，6a₁+1=9a₁，解得a₁=

1

3

，
當n≥2時，6S_n+1=9a_n ①，6S_n-1+1=9a_n-1 ②，
兩式相減得6a_n=9a_n-9a_n-1，
即a_n=3a_n-1，
即{a_n}是首項a₁=

1

3

，公比q=3的等比數列，
則數列{a_n}的通項公式an=

1

3

•3n-1=3n-2；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=

1

an

，則b_n=

1

an

=(

1

3

)n-2，
則{b_n}是首項b₁=3，公比q=

1

3

的等比數列，
則b₁+b₂+…+b_n=

3(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

9

2

[1-(

1

3

)n]＜

9

2

．
即不等式成立．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式和前n項和的計算，要求熟練掌握等比數列的相關公式．