Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D₁的中點(diǎn)，Q是A₁B₁上的任意一點(diǎn)，E、F是CD上的任意兩點(diǎn)，且EF的長為定值．現(xiàn)有如下結(jié)論：
①異面直線PQ與EF所成的角是定值；
②點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值；
③直線PQ與平面PEF所成的角是定值；
④三棱錐P-QEF的體積是定值；
⑤二面角P-EF-Q的大小是定值．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①因?yàn)镻是A₁D₁的中點(diǎn)，Q是A₁B₁上的任意一點(diǎn)，E、F是CD上的任意兩點(diǎn)，所以異面直線PQ與EF所成的角不是定值；
②P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距離是定值；
③Q是動點(diǎn)，EF也是動點(diǎn)，推不出定值的結(jié)論，所以就不是定值；
④根據(jù)等底同高的三角形面積相等及①的結(jié)論結(jié)合棱錐的體積公式，可以判斷三棱錐的體積固定；
⑤根據(jù)A₁B₁∥CD，Q為A₁B₁上任意一點(diǎn)，可得二面角P-EF-Q的大小為定值．

解答：解：①因?yàn)镻是A₁D₁的中點(diǎn)，Q是A₁B₁上的任意一點(diǎn)，E、F是CD上的任意兩點(diǎn)，所以異面直線PQ與EF所成的角不是定值，即①不正確；
②QEF平面也就是平面A₁B₁CD，既然P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距離是定值，即②正確；
③Q是動點(diǎn)，EF也是動點(diǎn)，推不出定值的結(jié)論，所以就不是定值，即③不正確；
④因?yàn)镋F定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值，根據(jù)1的結(jié)論P(yáng)到QEF平面的距離也是定值，所以三棱錐的高也是定值，于是體積固定，即④正確；
⑤∵A₁B₁∥CD，Q為A₁B₁上任意一點(diǎn)，E、F為CD上任意兩點(diǎn)，∴二面角P-EF-Q的大小為定值，即⑤正確．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，二面角，棱錐的體積及點(diǎn)到平面的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．