Question

如圖，在所有棱長為a的正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D為BC的中點.

(1)求證:AD⊥BC₁；

(2)求二面角ABC₁D的大小；

(3)求點B₁到平面ABC₁的距離.

Answer 1

(1)證明:在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CC₁⊥面ABC,

AD⊥BC₁.

(2)解:過D作DE⊥BC₁于E，連結AE，

由(1)知AD⊥面BC₁CB，

∴AE在面BB₁C₁C上的射影是DE.故AE⊥BC₁.

∴∠AED為二面角A-BC_1-D的平面角.

依題設BC₁=a，故在△BC₁D中,

DE=.

又AD=a，在Rt△ADE中，tan∠AED=,

∴二面角A-BC_1-D的大小為arctan.

(3)解:依題意，AC₁=BC₁=a，取AB的中點F，連結C₁F，則C₁F=a.設B₁到平面ABC₁的距離為d，則由,

得·d=·AD,

即·a·a·d=·a·a.

∴d=a,即B₁到平面ABC₁的距離為a.