Question

【題目】（Ⅰ）拋物線的頂點在原點，坐標軸為對稱軸，并經(jīng)過點，求此拋物線的方程.

（Ⅱ）已知圓： （），把圓上的各點縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的倍得一橢圓.求橢圓方程，并證明橢圓離心率是與無關的常數(shù).

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意設出拋物線的標準方程，注意兩種形式，把點坐標代入即可；（2）利用圖像的伸縮變換得到橢圓方程，計算橢圓離心率是一常數(shù)，故與c無關．

試題解析：（Ⅰ）依題意，若焦點在軸，設拋物線的方程為（）

將代入， ，得，此時方程為：

若焦點在軸，設拋物線的方程為（）

將代入， ，得，此時方程為：

所以，所求拋物線的方程為或

（Ⅱ）設是圓： 上任一點，則為所求橢圓上經(jīng)過變換后的對應點，

則有，即代入圓的方程得： ．

故所求的橢圓方程為： ．

又橢圓的長半軸的長為，半焦距為，故離心率與無關．