Question

已知正方形ABCD的中心在原點，四個頂點都在函數f（x）=ax³+bx（a＞0）圖象上．
（1）若正方形的一個頂點為（2，1），求a，b的值，并求出此時函數的單調增區間；
（2）若正方形ABCD唯一確定，試求出b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先依據待定系數法求a，b的值，得函數的解析式，再求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間．
（2）設正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx，則其斜率唯一確定，轉化為二元方程只有唯一實數根，利用根的判別式求解即可．
解答：解：（1）因為一個頂點為（2，1），
所以必有另三個頂點（-2，-1），（1，-2），（-1，2），
將（2，1），（1，-2）代入y=ax³+bx，得，．（4分）
所以．
因為，令f′（x）＞0，得或，
所以函數f（x）單調增區間為和．（6分）
（2）設正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx（k≠0），
則對角線BD所在的直線方程為．
由解得，
所以，
同理，，
又因為AO²=BO²，所以．（10分）
即，即．
令得t²-bt+2=0
因為正方形ABCD唯一確定，則對角線AC與BD唯一確定，于是值唯一確定，
所以關于t的方程t²-bt+2=0有且只有一個實數根，又．
所以△=b²-8=0，即．（14分）
因為，a＞0，所以b＜k；又，所以，故b＜0．
因此；
反過來時，，，
于是，；或，
于是正方形ABCD唯一確定．（16分）
點評：本小題主要考查函數的解析式的求法以及導數，單調性，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．