Question

已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O，四邊形PACE是直角梯形，設PA⊥平面ABCD，且PA=2，CE=1，
（1）求證：面PAD∥面BCE．
（2）求PO與平面PAD所成角的正弦．
（3）求二面角P-EB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）通過線線平行⇒線面平行⇒面面平行；
（2）根據面面垂直的性質作交線的垂線，再證線面垂直，證射影，證明角符合定義，然后求角即可；
（3）根據線面垂直關系利用三垂線定理，作二面角的平面角，通過解三角形求解．

解答：解：（1）證明：
∵PA∥CE，AD∥BC，PA∩AD=A，
BC，CE?平面BCE，∴平面PAD∥平面BCE．
（2）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
過O作OG⊥AD于G，連接PG．
∵OG⊥平面PAD，∴PG是PO在平面PAD內的射影，
∴∠POG為PO與平面PAD所成的角．
在Rt△PAO中，OP=

PA2+OA2

=

6

在△PGO中，∠PGO=

π

2

，OG=1，
∴sin∠POG=

1

6

=

6

6

．
∴PO與平面PAD所成角的正弦為

6

6

（3）把圖形補成如圖正方體形狀，過M作MN⊥BE于N，連接PN．
∵PM⊥平面BCFM，∴MN為PN在平面BCFM中的射影，
由三垂線定理得PN⊥BE，∴∠PNM為二面角P-BE-C的平面角的補角，
∵tan∠BEC=tan∠MBN=2，∴sin∠MBN=

2

5

，
MN=2×sin∠MBN=

4 5

5

在Rt△PMN中，tan∠MNB=

PM

MN

=

5

2

．
 所求二面角的正切值為-

5

2

點評：本題考查面面平行的判定及空間角的求法．求空間角的一般步驟是：1、作角（根據定義作平行線或垂線）；2、證角（證明符合定義）；3、求角（解三角形）．空間中直線與平面所成的角的范圍是：[0，

π

2

]；二面角的取值范圍是：[0，π]．