Question

【題目】如圖①，在邊長為4的正方形ABCD中，E，F分別是邊AB，BC上的點（端點除外），將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′（如圖②）．

（1）求證：A′D⊥EF；

（2）當點E，F分別為AB，BC的中點時，求直線A′E與直線BD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用折疊前后有些垂直關系不變及直線與平面垂直的判定和性質可證（2）取A’F的中點N，EF的中點M,異面直線A′E與直線BD所成角轉化為相交直線NM與ND所成銳角或直角，利用余弦定理求其余弦值即可.

（1）證明：顯然，又,

因為,

所以

（2）設,取A’F的中點N,

因為E、F為AB,BC的中點，所以M為EF的中點，

連MN則MN//A’E，連ND,

則或其補角就是異面直線A’E與BD所成角，

在中，

，

直線A’E與直線BD所成角的余弦值為.