Question

【題目】已知動直線l：（m＋3）x－（m＋2）y＋m＝0與圓C：（x－3）2＋（y－4）2＝9．

（1）求證：無論m為何值，直線l總過定點A，并說明直線l與圓C總相交．

（2）m為何值時，直線l被圓C所截得的弦長最小？請求出該最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）時，直線被圓C所截得的弦長最小，最小值為2．

【解析】

試題分析：（1）直線變形為．利用直線系過定點，若定點在圓的內部即可；（2）利用垂徑定理和弦長公式即可得出．

試題解析：

（1）證明：直線變形為．

令解得

如圖所示，故動直線恒過定點A（2,3）．

而 （半徑）．

∴點A在圓內，故無論m取何值，直線與圓C總相交．

（2）解：由平面幾何知識知，弦心距越大，弦長越小，即當AC垂直直線時，弦長最小，

此時kl·kAC＝－1，即，∴

最小值為．

故時，直線被圓C所截得的弦長最小，最小值為．