Question

設A是實數集，滿足若a∈A，則A，且1??A。

（1）若2∈A，則A中至少還有幾個元素？求出這幾個元素。

（2）A能否為單元素集合？請說明理由。

（3）若a∈A，證明：1－∈A。

（4）求證：集合A中至少含有三個不同的元素。

Answer 1

（1）A中至少還有兩個元素：－1和。

（2）A不可能是單元素集合，理由見解析。

（3）證明見解析。

（4）證明見解析。

解析:

（1）由2∈A得，－1∈A，同理∈A ，又得2∈A，

∴ A中至少還有兩個元素：－1和。

（2）如果A為單元素集合，則，

即＝0，該方程無實數解，故在實數范圍內，A不可能是單元素集。

（3）證明：由a∈A得，∈A ，則∈A，可得出A，即1－∈A。

（4）證明：由（3）知a∈A時，∈A， 1－∈A 。現在證明a，1－，三數互不相等。①若a=,即a₂－a+1=0 ，方程無解，∴a≠；

②若a=1－，即a²-a+1=0，方程無解，∴a≠1－；

③若1－ =，即a₂-a+1=0，方程無解，∴1－≠。

綜上所述，集合A中至少有三個不同的元素。

點評：（4）的證明中要說明三個數互不相等，否則證明欠嚴謹。