Question

設A是實數集，滿足若a∈A，則

1

1-a

∈A，a≠1且1∉A．
（1）若2∈A，則A中至少還有幾個元素？求出這幾個元素．
（2）A能否為單元素集合？請說明理由．
（3）若a∈A，證明：1-

1

a

∈A．

Answer 1

分析：（1）根據題意，若2∈A，則有

1

1-2

=-1，又有

1

1+1

=

1

2

，而

1

1- 1 2

=2，綜合分析可得A中的元素；
（2）用反證法，如果A為單元素集合，則a=

1

1-a

有解，對其變形可得a²-a+1=0，分析可得這個二次方程無解，可得矛盾，即可得證明；
（3）根據題意，由a∈A可得

1

1-a

∈A，進而可得

1

1- 1 1-a

∈A，對

1

1- 1 1-a

變形可得

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

，即可得證明．

解答：解：（1）∵2∈A，
∴

1

1-a

=

1

1-2

=-1∈A；
∴

1

1-a

=

1

1+1

=

1

2

∈A；
∴

1

1-a

=

1

1- 1 2

=2∈A．
因此，A中至少還有兩個元素：-1和

1

2

．
（2）用反證法，如果A為單元素集合，則a=

1

1-a

有解，
整理得a²-a+1=0，
由△=1-4=-3＜0，則該方程無實數解，
故在實數范圍內，A不可能是單元素集．
（3）證明：a∈A⇒

1

1-a

∈A⇒

1

1- 1 1-a

∈A，
而

1

1- 1 1-a

=-

1-a

a

=1-

1

a

，即1-

1

a

∈A．

點評：本題考查元素與集合的關系，關鍵是理解集合A的含義．