Question

設A是實數集，滿足若a∈A，則∈A，a≠1且1∉A．
（1）若2∈A，則A中至少還有幾個元素？求出這幾個元素．
（2）A能否為單元素集合？請說明理由．
（3）若a∈A，證明：1-∈A．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，若2∈A，則有=-1，又有=，而=2，綜合分析可得A中的元素；
（2）用反證法，如果A為單元素集合，則a=有解，對其變形可得a²-a+1=0，分析可得這個二次方程無解，可得矛盾，即可得證明；
（3）根據題意，由a∈A可得∈A，進而可得∈A，對變形可得=1-，即可得證明．
解答：解：（1）∵2∈A，
∴==-1∈A；
∴==∈A；
∴==2∈A．
因此，A中至少還有兩個元素：-1和．
（2）用反證法，如果A為單元素集合，則a=有解，
整理得a²-a+1=0，
由△=1-4=-3＜0，則該方程無實數解，
故在實數范圍內，A不可能是單元素集．
（3）證明：a∈A⇒∈A⇒∈A，
而=-=1-，即1-∈A．
點評：本題考查元素與集合的關系，關鍵是理解集合A的含義．