Question

（2004•朝陽區(qū)一模）（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式（lgx）²-lgx-2＞0；
（Ⅱ）若不等式（lgx）²-（2+m）lgx+m-1＞0對(duì)于|m|≤1恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把lgx看作一個(gè)整體（未知數(shù)），此不等式是關(guān)于lgx的一元二次不等式，先解出lgx的取值范圍，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出x的取值范圍；
（II）設(shè)y=lgx，則原不等式可化為y²-（2+m）y+m-1＞0，y²-2y-my+m-1＞0．即（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．當(dāng)y=1時(shí)，不等式不成立．設(shè)f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），則f（x）是m的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可解出．

解答：解：（Ⅰ）∵（lgx）²-lgx-2＞0，
∴（lgx+1）（lgx-2）＞0．
∴l(xiāng)gx＜-1或lgx＞2．
∴0＜x＜

1

10

或x＞102．
（Ⅱ）設(shè)y=lgx，則原不等式可化為y²-（2+m）y+m-1＞0，∴y²-2y-my+m-1＞0．
∴（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．
當(dāng)y=1時(shí)，不等式不成立．
設(shè)f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），則f（x）是m的一次函數(shù)，且一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)．
當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，若要f(m)＞0?

f(1)＞0 f(-1)＞0.

?

y2-2y-1+1-y＞0 y2-2y-1+y-1＞0.

?

y2-3y＞0 y2-y-2＞0.

?

y＜0或y＞3 y＜-1或y＞2.

則y＜-1或y＞3．
∴l(xiāng)gx＜-1或lgx＞3．
∴0＜x＜

1

10

或x＞10³．
∴x的取值范圍是(0，

1

10

)∪(103，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、一元二次不等式的解法、一次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．