Question

【題目】某地自來(lái)水苯超標(biāo)，當(dāng)?shù)刈詠?lái)水公司對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定在水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)，已知每投放質(zhì)量為的藥劑后，經(jīng)過(guò)天該藥劑在水中釋放的濃度（毫克/升）滿足，其中，當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱為最佳凈化.

（Ⅰ）如果投放的藥劑質(zhì)量為，試問(wèn)自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？

（Ⅱ）如果投放的藥劑質(zhì)量為，為了使在9天（從投放藥劑算起包括9天）之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）天；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，,這時(shí)時(shí)，顯然符合題意，當(dāng)時(shí)，由可得，由此可得到受益人天數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)投放的藥劑質(zhì)量為時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，為使，解不等式可求的取值范圍，從而求出其最小值.

試題解析： （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，…………………………2分

當(dāng)時(shí)，顯然符合題意；………………………………3分

當(dāng)時(shí)，由可得；……………………………………5分

綜上，所以自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)21天…………………………6分

（Ⅱ）由……………………………………7分

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；………………2分

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而得到，

綜上可知：，……………11分

為使恒成立，只要即可，

所以，………………………12分

所以應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量的最小值為.…………………………13分