Question

【題目】已知函數 (m,n∈R)在x=1處取得極值2.
（1）求f(x)的解析式；
（2）k為何值時，方程f(x)-k=0只有1個根
（3）設函數g(x)=x2-2ax+a，若對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范圍

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以 .

又f(x)在 處取得極值2，所以 ，即 解得 ，

經檢驗滿足題意，所以 .

（2）解： ，令 ，得 .

當 變化時， 的變化情況如下表：

所以f(x)在 處取得極小值 ，在 處取得極大值 ，

又 時， ，所以 的最小值為 ，

如圖

所以k= 或0時，方程有一個根。

（3）解：由（2）得 的最小值為 ，

因為對任意的 ，總存在 ，使得 ，

所以當 時， 有解，

即 在 上有解.

令 ，則 ，所以 .

所以當 時， ；

的取值范圍為 .

【解析】（1）含兩個參數m,n的函數，由條件得到關于m,n的方程組求m,n的值得函數的解析式.
（2）通過導函數研究函數的單調性和極值,由數形結合得到方程有一個實根時參數k的范圍.
（3）對于雙參數任意和存在性問題，要轉化為兩個函數的最大值和最小值的不等式，利用導函數求解.
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．