Question

【題目】已知橢圓C： ，點P（4，0），過右焦點F作與y軸不垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點． （Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求證：以坐標原點O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，a=2，b= ，c=1，

則橢圓的離心率公式e= = ，

∴橢圓C的離心率 ；

（Ⅱ）證明：由c=1，則焦點F（1，0），當直線l的斜率不存在時，直線l的方程x=1，

A，B兩點關于x軸對稱，則P（4，0）在x軸上，

∴直線PA與直線PB關于x軸對稱，

∴點O到直線PA的距離與到PB的距離相等，

∴以坐標原點O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切，

當直線l的斜率存在時，設直線l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

由韋達定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

由kPA= = ，kPB= = ，

則kPA+kPB= + = = =0，

∴∠APO=∠BPO，則點O到直線PA和直線PB的距離相等，

∴以坐標原點O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切．

【解析】（Ⅰ）由橢圓方程，求得a和c的值，即可求得橢圓的離心率；（2）分類討論，當直線斜率存在時，設直線方程，利用韋達定理及直線的斜率公式可知kPA+kPB=0，即可證明以坐標原點O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切．