Question

【題目】在△ABC中，三邊a，b，c所對應的角分別是A，B，C，已知a，b，c成等比數列．
（1）若 + = ，求角B的值；
（2）若△ABC外接圓的面積為4π，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，

，

∵a，b，c成等比數列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，

∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得 ，即 ，

由b2=ac知，b不是最大邊，∴

（2）解：∵△ABC外接圓的面積為4π，∴△ABC的外接圓的半徑R=2，

由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得 ，

又b2=ac，∴ ，當且僅當a=c時取等號，

∵B為△ABC的內角，∴ ，

由正弦定理 ，得b=4sinB，

∴△ABC的面積 ，

∵ ，∴ ，∴

【解析】（1）由切化弦、兩角和的正弦公式化簡式子，由等比中項的性質、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范圍，由余弦函數的性質求出B的范圍，由正弦定理和三角形的面積公式表示出△ABC面積，利用B的范圍和正弦函數的性質求出△ABC面積的范圍．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．