Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）在上是減函數(shù)（3）

【解析】試題分析：（1）由定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有列式求解，或直接由奇函數(shù)的定義得恒等式，由系數(shù)相等求解的值；（2）設(shè)， 且，可得，只需判斷；（3）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把給出的不等式轉(zhuǎn)化為含有的一元二次不等式，分離參數(shù)后求二次函數(shù)的最值，即可實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）∵是定義在上的奇函數(shù)，

∴，∴，∴．

（2）， 在上是減函數(shù)．

證明：設(shè)， 且，

則，

∵，∴， ， ，

∴，

即，∴在上是減函數(shù)．　

（3）不等式

又是上的減函數(shù)，∴，

∴，對(duì)恒成立，

∴．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).