Question

如圖，某小區準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=20米，∠ABC=θ，設△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值

S1

S2

稱為“規劃合理度”．
（1）試用θ表示S₁和S₂．
（2）當θ變化時，求“規劃合理度”取得最小值時的角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）據題知三角形ABC為直角三角形，根據三角函數分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=20列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值

S1

S2

稱為“規劃合理度”，可設t=sin2θ來化簡求出S₁與S₂的比值，利用三角函數的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ．

解答：解：（1）如圖，在Rt△ABC中，AC=20sinθ，AB=20cosθ，
S1=

1

2

×202×sinθcosθ=100sin2θ，
設正方形的邊長為x則BQ=

x

tanθ

，RC=xtanθ，
∴

x

tanθ

+x+xtanθ=20，
∴x=

20

1 tanθ +tanθ+1

=

20sin2θ

2+sin2θ

，S2=x2=(

20sin2θ

2+sin2θ

)2；
（2）t=sin2θ而S₂=

202sin2θ

4+4sin2θ+sin22θ

∴

S1

S2

=

1

4

(t+

1

t

+4)，
∵0＜θ＜

π

2

，又0＜2θ＜π，∴0＜t≤1∴f(t)=

1

4

(t+

1

t

+4)為減函數
當t=1時

S1

S2

取得最小值為

3

2

此時sin2θ=1∴θ=

π

4

．

點評：考查學生會根據實際問題選擇合適的函數關系的能力，以及在實際問題中建立三角函數模型的能力．