Question

【題目】已知函數f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e為自然對數的底數.

（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線l：x+2y=0垂直，求實數a的值；

（II）設函數F（x）=-x[g（x）+x-2]，若F（x）在區間（m,m+1）（m∈Z）內存在唯一的極值點，求m的值；

（III）用max{m，n}表示m，n中的較大者，記函數h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函數h（x）在（0，+∞）上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）a=; （II）m=0或m=3; （III）a>.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，計算f′（1），求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函數F（x）的導數，根據函數的單調性求出函數的極值點，求出對應的m的值即可；
（Ⅲ）通過討論a的范圍求出函數f（x）的單調區間，結合函數的單調性以及函數的零點個數確定a的范圍即可．

試題解析：

（I）易得，f '（x）=3x2-3a，所以f '（1）=3-3a，

依題意，（3-3a）（-）=-1，解得a=；

（II）因為F（x）=-x[g（x）+x-2]=-x[（1-lnx）+x-2]=xlnx-x2+x,

則F' （x）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 設t（x）=lnx-x+2，

則t '（x）=-1=.

令t '（x）=0，得x=1.

則由t '（x）>0，得0<x<1，F '（x）為增函數；

由t '（x）<0，得x>1，F '（x）為減函數；

而F '（）=-2-+2=-<0，F '（1）=1>0.

則F '（x）在（0，1）上有且只有一個零點x1，

且在（0，x1）上F '（x）<0，F（x）為減函數；

在（x1，1）上F '（x）>0，F（x）為增函數.

所以x1為極值點，此時m=0.

又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,

則F '（x）在（3，4）上有且只有一個零點x2，

且在（3，x2）上F '（x）>0，F（x）為增函數；

在（x2，4）上F '（x）<0，F（x）為減函數.

所以x2為極值點，此時m=3.

綜上m=0或m=3.

（III）（1）當x∈（0，e）時，g（x）>0，依題意，h（x）≥g（x）>0，不滿足條件；

（2）當x=e時，g（e）=0，f（e）=e3-3ae+e，

①若f（e）=e3-3ae+e≤0，即a≥，則e是h（x）的一個零點；

②若f（e）=e3-3ae+e>0，即a<，則e不是h（x）的零點；

（3）當x∈（e，+∞）時，g（x）<0，所以此時只需考慮函數f（x）在（e,+∞）上零點的情況.

因為f '（x）=3x2-3a>3e2-3a，所以

①當a≤e2時，f '（x）>0，f（x）在（e，+∞）上單調遞增.

又f（e）=e3-3ae+e，所以

（i）當a≤時，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上無零點；

（ii）當<a≤e2時，f（e）<0，

又f（2e）=8e3-6ae+e≥8e3-6e3+e>0，

所以此時f（x）在（e，+∞）上恰有一個零點；

②當a>e2時，令f '（x）=0，得x=±.

由f '（x）<0，得e<x<；

由f '（x）>0，得x>；

所以f（x）在（e， ）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增.

因為f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，

f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，

所以此時f（x）在（e，+∞）上恰有一個零點；

綜上，a>.