Question

直線y=kx與圓x²+y²-6x-4y+10=0相交于兩個不同點A、B，當k取不同實數值時，求AB中點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：法一為參數法，適當引入參數，設出中點坐標，通過聯立方程組，利用韋達定理，再消去參數得所求軌跡；
法二為“差分法”，設出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入圓的方程，作差，利用中點公式，結合直線的斜率，消去參數求中點軌跡方程．
解答：解：法一：由
消去y，得（1+k²）x²-（6+4k）x+10=0．
設此方程的兩根為x₁、x₂，AB的中點坐標為P（x，y），
則由韋達定理和中點坐標公式，得x===．①
又點P在直線y=kx上，
∴y=kx．
∴k=．②
將②代入①，得x=（x≠0），整理得x²+y²-3x-2y=0．
故軌跡是圓x²+y²-3x-2y=0位于已知圓內的部分．
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁²+y₁²-6x₁-4y₁+10=0，①
x₂²+y₂²-6x₂-4y₂+10=0，②
①-②，得（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0．
設AB的中點為（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
代入上式，有2x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，
即（2x-6）（x₁-x₂）+（2y-4）（y₁-y₂）=0．
∴=-=-k．③
又∵y=kx，④
由③④得x²+y²-3x-2y=0．
故所求軌跡為已知圓內的一段�。�
點評：本題考查與圓有關的軌跡問題．法一為參數法，適當引入參數，再消去參數得所求軌跡；法二為“差分法”，是求中點軌跡的一種常用方法．