Question

直線y=kx與圓x²+y²-6x-4y+10=0相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，當(dāng)k取不同實(shí)數(shù)值時(shí)，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：法一為參數(shù)法，適當(dāng)引入?yún)��?shù)，設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，再消去參數(shù)得所求軌跡；
法二為“差分法”，設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入圓的方程，作差，利用中點(diǎn)公式，結(jié)合直線的斜率，消去參數(shù)求中點(diǎn)軌跡方程．

解答：解：法一：由

x2+y2-6x-4y+10=0 y=kx

消去y，得（1+k²）x²-（6+4k）x+10=0．
設(shè)此方程的兩根為x₁、x₂，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
則由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x=

x1+x2

2

=

6+4k

2(1+k2)

=

3+2k

1+k2

．①
又點(diǎn)P在直線y=kx上，
∴y=kx．
∴k=

y

x

．②
將②代入①，得x=

3+2× y x

1+( y x )2

（x≠0），整理得x²+y²-3x-2y=0．
故軌跡是圓x²+y²-3x-2y=0位于已知圓內(nèi)的部分．
解法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁²+y₁²-6x₁-4y₁+10=0，①
x₂²+y₂²-6x₂-4y₂+10=0，②
①-②，得（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0．
設(shè)AB的中點(diǎn)為（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
代入上式，有2x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，
即（2x-6）（x₁-x₂）+（2y-4）（y₁-y₂）=0．
∴

x-3

y-2

=-

y1-y2

x1-x2

=-k．③
又∵y=kx，④
由③④得x²+y²-3x-2y=0．
故所求軌跡為已知圓內(nèi)的一段弧．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題．法一為參數(shù)法，適當(dāng)引入?yún)��?shù)，再消去參數(shù)得所求軌跡；法二為“差分法”，是求中點(diǎn)軌跡的一種常用方法．