Question

已知橢圓方程為C：

x2

2

+y2=1，它的左、右焦點分別為F₁、F₂．點P（x₀，y₀）為第一象限內的點．直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．
（1）求橢圓上的點與兩焦點連線的最大夾角；
（2）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂．試找出使得直線OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD滿足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0成立的條件（用k₁、k₂表示）．
（3）又已知點E為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，直線F₂E與橢圓C的交點G在y軸的左側，且滿足

EG

=2

F2E

，求p的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義，結合余弦定理、基本不等式，即可求得橢圓上的點與兩焦點連線的最大夾角；
（2）設出A，B，C，D的坐標，聯立直線PF₁和橢圓的方程根據韋達定理表示出x_A+x_B和x_Ax_B，進而可求得直線OA，OB斜率的和與CO，OD斜率的和，由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0推斷出k₁+k₂=0或k₁k₂=1；
（3）設出G的坐標，可得E的坐標，利用E在拋物線上，可得p的函數，換元，利用基本不等，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意，設橢圓上的點與兩焦點連線的距離為m，n，夾角為α，則m+n=2

2

∴cosα=

m2+n2-4

2mn

=

2

mn

-1
∵m+n=2

2

≥2

mn

∴0＜mn≤2
∴

2

mn

-1≥0
∴cosα≥0
∴當m=n時，橢圓上的點與兩焦點連線的最大夾角為90°；
（2）設直線PF₁、PF₂的方程分別為y=k₁（x+1），y=k₂（x-1），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
聯立直線PF₁和橢圓的方程化簡得（2k₁²+1）x²+4k₁²x+2k₁²-2=0，
因此x_A+x_B=-

4k12

2k12+1

，x_Ax_B=

2k12-2

2k12+1

，所以k_OA+k_OB=

yA

xA

+

yB

xB

=-

2k1

k12-1

同理可得：k_OC+k_OD=-

2k2

k22-1

，
故由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0得k₁+k₂=0或k₁k₂=1；
（3）F₂（1，0），設G（x₀，y₀），（-

2

≤x0≤0），則
∵

EG

=2

F2E

，∴x_E=

x0+2

3

，y_E=

y0

3

，
∵E為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，
∴(

y0

3

)2=2p•

x0+2

3

∵

x02

2

+y02=1
∴12p=

2-x02

x0+2

令t=x₀+2，則2-

2

≤t＜2
∴12p=-（t+

2

t

-4）≤-（2

2

-4），∴p≤

1

3

-

2

6

，當且僅當t=

2

時，取等號
∴x0=

2

-2時，p的最大值為

1

3

-

2

6

．

點評：本題考查橢圓的定義，考查余弦定理、考查基本不等式的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．