Question

已知函數，,
(1)若為奇函數，求的值；
(2)若=1，試證在區間上是減函數；
(3)若=1，試求在區間上的最小值.

Answer 1

(1)
(2)利用“定義法”證明。在區間上是減函數
(3) 若，由(2)知在區間上是減函數，在區間上，當時，有最小值，且最小值為2。

試題分析：(1)當時，，若為奇函數，則
即,所以
(2)若，則=
設為, =
∵
∴,∴>0
所以，，因此在區間上是減函數
(3) 若，由(2)知在區間上是減函數，下面證明在區間上是增函數.
設 , =
∵,
∴
∴
所以 ，
因此在區間上上是增函數
因此，在區間上，當時，有最小值，且最小值為2
點評：中檔題，研究函數的奇偶性，要注意定義域關于原點對稱。利用定義法研究函數的單調性，要注意遵循“設，作差，變形，定號，結論”等步驟，關鍵是變形與定號。函數的單調性的基本應用之一是求函數的最值。