Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）
（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
（3）

試題分析：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015912810568.png" style="vertical-align:middle;" />，   1分
．    2分
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，．
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．                  4分
（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015912982521.png" style="vertical-align:middle;" />．   
（i）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減． 5分
（2）當(dāng)時(shí)，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；   6分
由，即，得．        7分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為． 8分
（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí) 在上單調(diào)遞增．          9分
（Ⅲ））因?yàn)榇嬖谝粋�(gè)使得，
則，等價(jià)于.  10分
令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”. 
對求導(dǎo)，得.  11分
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.   12分
所以，因此.      13分
點(diǎn)評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。